Sommaire

A. Complexes

Exercice 1 :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : \(\left\{\begin{array}{lll} (1+i)z & -iu & =2+i \\ (2+i)z & +(2-i)u & = 2i \end{array}\right.\)

Exercice 2 :

Calculer $\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{2024}$

B. Fonctions usuelles

Exercice 3 :

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \dfrac{e^x}{e^x+1}$

  1. Etudier, sans calcul de dérivées, le sens de variations de $f$
  2. Déterminer les limites de $f$ en $\pm \infty$
  3. Montrer que le point $A(0, \frac{1}{2})$ est centre de symétrie de la courbe $C_f$, représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
  4. Donner une équation de la tangente $T$ en $A$ à $C_f$.
  5. Préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente.

Exercice 4 :

Soit $x$ un réel fixé, et $n \in \mathbb{N}^*$. Calculer les sommes suivantes :

\[C_n = \sum\limits_{k=1}^n ch(kx) \text{ et } S_n = \sum\limits_{k=1}^n sh(kx)\]

C. Primitives

Exercice 5 :

Calculer les primitives suivantes :

  1. $\int \frac{x}{1-x}dx$
  2. $\int (2x+3)(x^2+3x+5)^3dx$
  3. $\int \frac{dx}{x ln x}$
  4. $\int \frac{dx}{1-x^2}$

Exercice 6 :

Calculer les primitives suivantes par IPP :

  1. $\int \ln x dx$
  2. $\int y^3e^{y^2} dy$
  3. $\int x \text{ arctan } x dx$

D. Equations différentielles

Exercice 7 :

Résoudre les équadiffs du premier ordre :

  1. $y’ +2y = x+1$
  2. $y’ + y = 2e^{2x}$
  3. $y’ - \frac{x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}$
  4. $2y’-3y = 9, y(-1) = 1$

Exercice 8 :

Résoudre les ED du 2nd ordre :

  1. $y’’ -2y’ -3y =0$
  2. $y’‘-2y’+5y=0$
  3. $y’’ - 2y’ +y = xe^x$

E. Polynômes et Fractions Rationnelles

Exercice 9 :

Soit $F(X) = \frac{2X^2+7x-20}{X+2}$. Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en $\pm \infty$, et étudier la position de la courbe de $F$ par rapport à cette droite.

Exercice 10 :

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\mathbb{R}$ :

  1. $\frac{X^5+X^4-1}{X^3-X}$
  2. $\frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}$
  3. $\frac{X^5-2 X^3+4 X^2-8 X+11}{X^3-3 X+2}$
  4. $\frac{3 X^4+5 X^3+11 X^2+5 X+3}{\left(X^2+X+1\right)^2(X-1)}$

F. Suites numériques

Exercice 11 :

Etudier la nature des suites suivantes, puis déterminer leur limite éventuelle :

   
1. $u_n = \frac{\sin(n)+3\cos(n^2)}{\sqrt{n}}$ 2. $u_n=\frac{2 n+(-1)^n}{5 n+(-1)^{n+1}}$
3. $u_n=\frac{n^3+5 n}{4 n^2+\sin (n)+\ln (n)}$ 4. $u_n=\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n-1}$
5. $u_n=3^n e^{-3 n}$ 6. $u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}$
7. $u_n=\frac{\ln (n!)}{n^2}$ 8. $u_n=e^{-\sqrt{n}} \ln \left(1+n+e^n\right)$
9. $u_n=\sqrt{n} \ln \left(\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-1}\right)$  

Exercice 12 :

On souhaite calculer l’intégrale $W_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n(x)dx$.

  1. En effectuant une double intégration par parties, établir une relation de récurrence pour $W_n$.
  2. En déduire une expression explicite pour $W_n$.

G. Développements limités

Exercice 13 :

Donner le développement limité en $0$ des fonctions :

  1. $\cos x \exp x$ à l’ordre 3
  2. $(\ln(1+x))^2$ à l’ordre 4
  3. $\frac{\sh x - x}{x^3}$ à l’ordre 6
  4. $\exp(\sin x)$ à l’ordre 4
  5. $\sin^6(x)$ à l’ordre 9
  6. $\ln(\cos x)$ à l’ordre 6
  7. $\frac{1}{\cos x}$ à l’ordre 4
  8. $\tan x$ à l’ordre 5, ou 7, ou 23
  9. $(1+x)^{\frac{1}{1+x}}$ à l’ordre 3
  10. $\cos (x) ^{\sin x}$ à l’ordre 5

Exercice 14 :

Donner le développement limité des fonctions suivantes :

  1. $f(x) = \sqrt{x}$ en 1 à l’ordre 3
  2. $g(x) = e^{\sqrt{x}}$ en 1 à l’ordre 3
  3. $h(x) = \ln(\sin x)$ en $\frac{\pi}{3}$ à l’ordre 3
  4. $k(x) = \frac{1}{x}$ en 2 à l’ordre 3

Exercice 15 :

Déterminer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}- \cos x}{x^2}$

H. Espaces vectoriels

Exercice 16 :

Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des s.e.v de $\mathbb{R}^3$ ?

  1. $E_1 = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x=y=z }$
  2. $E_2 = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x^2=yz }$
  3. $E_3 = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+z=0 }$
  4. $E_4 = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3/ x+y+2z+1=0 }$

Exercice 17 :

Montrer que $P_1(X) = (X-1)^2, P_2(X) = X^2, P_3(X) = (X+1)^2$ forment une base de $\mathbb{R}_2[X]$, puis donner les coordonnées de $X^2+X+1$ dans cette base.

Exercice 18 :

Les applications suivantes sont-elles linéaires?

  1. $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto 3 x-2$
  2. $\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x, y, x^{\prime}, y^{\prime}\right) \longmapsto x \cdot x^{\prime}+y \cdot y^{\prime}$
  3. $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto f(1)$
  4. $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad f \longmapsto f^{\prime}+f$
  5. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \int_0^1 |f(t)| dt$
  6. $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f \longmapsto \max_{x \in[0,1]} f(x)$
  7. $\mathbb{R}_3[X] \longrightarrow \mathbb{R}_3[X], \quad P(X) \longmapsto P(X+1)-P(0)$

Exercice 19 :

Soient $f, g: M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow M_n(\mathbb{R})$ définies par $A \longmapsto$ $\frac{A+A^T}{2}$ et $A \longmapsto \frac{A-A^T}{2}$. Montrer que $f$ et $g$ sont des applications linéaires. Montrer que $f(A)$ est une matrice symétrique, $g(A)$ une matrice antisymétrique et que $A=f(A)+g(A)$.

Exercice 20 :

  1. Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y,z) = (-x,y+z, 2z)$. Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ? Même question avec f(x,y,z) = (x-y, x+y, y).
  2. Soit $f : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ définie par $P(X) \mapsto P’‘(X)$. Montrer que $f$ est une application linéaire. Calculer $Ker(f)$ et $Im(f)$. $f$ admet-elle un inverse ?

Exercice 21 :

Soit $E = \mathbb{R}_3[X]$. Soit $u$ l’application de $E$ dans lui-même : $u(P) = P + (1-X)P’$

  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer une base de $Im(u)$
  3. Déterminer une base de $Ker(u)$
  4. Montrer que $Ker(u)$ et $Im(u)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.

I. Calcul matriciel

Exercice 22 :

  1. Soit $A = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ et en déduire une relation entre $A^2$, $A$, et $I_3$. Prouver alors que $A$ est inversible et déterminer son inverse.
  2. Soit $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^3$ et répondre aux mêmes questions.

Exercice 23 :

Calculer (si possible) l’inverse des matrices :

  1. $\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix} 1&2&1\\1&2&-1\-2&-2&-1\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix} 1&\overline\alpha&\overline\alpha^2\\ \alpha&1&\overline\alpha\\ \alpha^2&\alpha&1\end{pmatrix}$
  4. $\begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix}$
  5. $\begin{pmatrix} 1&1&\dots&\dots&1\\0&1&& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&&1\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$
  6. $\begin{pmatrix} 1&2&3&\dots&n \\ 0&1&2& \dots&n-1\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&&\ddots&1&2 \\ 0&\dots&\dots&0&1\end{pmatrix}$

J. Matrices et applications linéaires

Exercice 24 :

Soient $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $w_1 = (1, -2, 0), w_2 = (-1, 2, 0), w_3=(0,0,2)$ et $u$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de base : $u(e_1) = w_1, u(e_2) = w_2, u(e_3) = w_3$

  1. Donner la matrice de $u$ dans la base canonique
  2. Soit $W = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Calculer $u(W)$.
  3. Trouver une base de $Ker(u)$ et une base de $Im(u)$.
  4. Montrer que $\mathbb{R}^3 = Ker(u) \oplus Im(u)$
  5. Déterminer $Ker(u-I_3)$ et $Im(u-I_3)$, où $I_3$ désigne l’identité de $\mathbb{R}^3$. En déduire que $u-I_3$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$

Exercice 25 :

On considère l’endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1&1&1\-1&2&-2\\0&3&-1\end{pmatrix}$. Donner une base de $Ker(f)$ et de $Im(f)$.

K. Déterminants

Exercice 26 :

Calculer les déterminants des matrices suivantes, et calculer leur inverse :

$\begin{pmatrix}7&11 \\ -8&4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&0&6\\3&4&15\\5&6&21\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&2\\3&4&5\\5&6&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1\\2&3&5\\4&1&3\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0&1&2&3 \\ 1&2&3&0 \\ 2&3&0&1 \\ 3&0&1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&1&0 \\ 1&0&0&1 \\ 1&1&0&1 \\ 1&1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&1&2 \\ 1&3&1&3 \\ 2&1&0&6 \\ 1&1&1&7 \end{pmatrix}$

Exercice 27 :

Montrer, sans développer, que :

$\begin{vmatrix} 1+a&a&a \\ b&1+b&b \\ c&c&1+c \end{vmatrix} = 1+a+b+c$