Sommaire

1. Compléments

A. Espaces vectoriels

Définition : $(E, +, .)$ est un $\mathbb{K}$ espace vectoriel si :

Quelques espaces vectoriels usuels :

Remarque : Il est généralement plus simple de prouver qu’un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel d’un autre espace $E$ plutôt que de vérifier toutes les conditions de la définition précédente.

Définition : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel et $F \subset E$. $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si :

B. Applications linéaires

Définition : Soit $f : E \longrightarrow F$. On dit que $f$ est linéaire lorsque :

Terminologie :

Propriétés :

  1. Restriction : Si $f \in \mathcal{L}$, si $G$ est un SEV de $E$, et si $H$ est un SEV de $F$ tel que $f(G) \subset H$, alors $f_{/G} \in \mathcal{L}(G,H)$
  2. Somme et multiplication : Si $(f,g) \in \mathcal{L}(E,F)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $\lambda.f + g \in \mathcal{L}(E,F)$
  3. Composition : Si $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$, alors $g \circ f \in \mathcal{L}(E,G)$
  4. Bijection réciproque : Si f est un isomorphisme de $E$ sur $F$, alors $f^{-1}$ est un isomorphisme de $F$ dans $E$

Définition : Noyau et image

Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$

  1. On appelle noyau de $f$ : \(Ker(f) = f^{-1} (\{0\}) = \{x \in E / f(x) = 0\}\)
  2. On appelle image de $f$ : \(Im(f) = f(E) = \{f(x) \in F / x \in E \}\)

$Ker(f)$ et $Im(f)$ sont des SEV de respectivement $E$ et $F$

Remarque :

Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$

  1. $f$ est injective $\iff Ker(f) = {0}$
  2. $f$ est surjective $\iff Im(f) = F$

Terminologie :

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme

  1. $f$ est un projecteur $\iff f^2 = f$
  2. $f$ est une symétrie $\iff f^2 = Id_{/E}$

C. Familles de vecteurs

Définitions :

On considère $(x_1, x_2, … x_p) = (x_i)_{i\in I}$ une famille de $p$ vecteurs de l’EV $E$

  1. La famille de vecteurs est libre si $\sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i = 0 \implies \forall i \in I, \lambda_i = 0$
  2. La famille de vecteurs est génératrice si $\forall x \in E, \exists (\lambda_i){i\in I} / x = \sum\limits{i=1}^p \lambda_i x_i$
  3. La famille de vecteurs est une base si elle est libre et génératrice, ou encore si $\forall x \in E, \exists !(\lambda_i), i\in I / x = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i x_i$

Définitions :

Remarque :

Si $E$ est un EV de dim $n$, et $(x_i)$ une famille de vecteurs de $E$, alors il y a équivalence entre les trois propositions suivantes :

  1. $(x_i)$ est une base de $E$
  2. $(x_i)$ est une famille libre à $n$ éléments
  3. $(x_i)$ est une famille génératrice à $n$ éléments

Définition :

Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On appele rang de $u$ : \(rg(u) = dim(Im(u))\)

Théorème du rang :

Soient $E$ et $F$ deux EV, et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que $E$ est de dimension finie. On a alors la formule du rang :

\[dim(E) = dim(Ker(u)) + rg(u)\]

Remarque : Que peut-on en déduire si $dim(E) = dim(F)$ ? (donc pour tout endomorphisme en dimension finie)

D. Produit et somme d’espaces vectoriels

Définition : On considère $n \hspace{2mm} \mathbb{K}$-EV $E_1, … E_n$ Le produit cartésien $E_1 \times E_2 \times … \times E_n$ est défini comme l’ensemble des $(x_1, x_2, …, x_n)$ tels que $x_i \in E_i$

$E_1 \times E_2 \times … \times E_n$ a une structure de $\mathbb{K}$-EV et $dim(E_1 \times E_2 \times … \times E_n) = \sum\limits_{i=1}^n dim(E_i)$

Définition : On considère deux SEV $F$ et $G$ d’un même EV $E$. On note alors : \(F+G = \{x+y / x\in F, y \in G\} = \{z \in E / \exists (x,y) \in F \times G, z = x+y\}\)

La somme $F+G$ est un SEV de E.

Définition : On dit que deux SEV $F$ et $G$ sont en somme directe lorsque $F \cap G = {0}$, dans ce cas on note $F+G = F\oplus G$

Définition : On dit que deux SEV $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ lorsque

  1. $F \cap G = {0}$
  2. $F+G = E$ (tout vecteur de $E$ peut s’exprimer comme une somme d’un vecteur de $F$ et d’un vecteur de $G$)

Théorème :

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-EV et $F$ et $G$ deux SEV de $E$ de $dim$ finie.

  1. $F+G$ est un SEV de $E$ de $dim$ finie et $dim(F+G) \leq dim(F) + dim(G)$
  2. De plus si $F$ et $G$ sont en somme directe alors $dim(F\oplus G) = dim(F) + dim(G)$

Théorème : Formule de Grassman

Soient $F, G$ deux sev de dimension finie. $dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F\cap G)$

Remarques supplémentaires sur les bases

Définition : (rappel) On dit qu’une famille de vecteurs est une base lorsqu’elle est libre et génératrice.

Définition : Soit $F$ un sev de $E$. On dit qu’une famille de vecteurs $B = (B_1, B_2)$ est une base de $E$ adaptée à $F$ lorsque $B_1$ est une base de $F$ et $B_2$ une famille de vecteurs de $E$.

Théorème : Caractérisation des sev supplémentaires

Soient $F$ et $G$ deux sev de $E$. Les propositions suivantes sont alors équivalentes :

  1. $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$
  2. $F + G = E$ et $F \cap G = {0}$
  3. Tout vecteur $u \in E$ se décompose de manière unique en $u = v + w$ avec $v \in F$ et $w \in G$
  4. L’union d’une base de $F$ avec une base de $G$ donne une base de $E$

Dans ce dernier cas, on a alors une base adaptée à la somme directe $F\oplus G$