Chapitre 1 : Outils mathématiques et physiques généraux - EXERCICES

Grandeurs physiques et unités :

Exercice 1 : Born in the USA

Convertir les valeurs suivantes en utilisant les unités du système international :

• 6 1/4 pouces
• $5’11’’$
• 150 mph
• 30 gallons
• 451 Fahrenheit

Exercice 2 : Puissances et énergies

Même question :

• La puissance d’un four 1200 W
• La consommation électrique annuelle moyenne d’un foyer : 4679 kWh
• L’apport énergétique journalier d’un être humain : 3000 kcal

Exercice 3 : Analyse dimensionnelle

Montrer que :

• $mgh$ est homogène à une énergie
• $2 \pi \sqrt{L/g}$ est homogène à un temps (où $L$ est une longueur, et $g$ l’accélération de pesanteur).
• $1/2 g t ^2 +v_0 t + h$ est homogène à une longueur

Exercice 4 : Forces et pressions

En utilisant la formule du principe fondamental de la dynamique, retrouver l’unité SI d’une force.

Sachant que la pression peut être définie comme une force par unité de surface, retrouver l’unité SI d’une pression. Retrouver que la pression peut également s’exprimer comme une énergie par unité de volume. Commenter sur les autres unités de pression utilisées (bar, atm, mmHg)

Exercice 5 : Vibration d’une corde

Lorsque l’on fait vibrer la corde d’un instrument, celle-ci vibre à une fréquence donnée qui dépend de la tension $T$ du fil, de sa masse linéique $\mu$ ainsi que de sa longueur $\ell$.

• Donner la dimension de la force $T$ et de la masse linéique $\mu$
• Chercher l’expression de la fréquence $\nu$ de vibration de la corde sous la forme $K.T^{\alpha}.\mu^{\beta}.\ell^{\gamma}$, où $K$ est une constante qu’on ne cherchera pas à déterminer.
• Discuter la cohérence du résultat précédent

Exercice 6 : Képler & Force gravitationnelle

On rappelle l’expression de l’intensité de la force gravitationnelle s’exerçant entre deux masses $m_1$ et $m_2$ : $F = \dfrac{Gm_1m_2}{r^2}$ où $G$ est la constante universelle de gravitation et $r$ la distance entre les deux masses.

• Quelle est la dimension de $G$ ? Donner son unité dans le SI.
• On considère un satellite en rotation autour de la Terre selon une trajectoire circulaire de rayon $R$, et de période $T$. On considère la masse terrestre $M$. Par analyse dimensionnelle, retrouver la troisième loi de Kepler de la forme : \(\dfrac{T^{\alpha}}{R^{\beta}} = \dfrac{4 \pi^2}{G^{\gamma}M^{\delta}}\)

Exercice 7 : Quantité de matière

En considérant que chaque personne dans la salle est un unique atome, donner en moles la quantité de matière correspondante. En déduire la concentration en unités SI.

Dérivation

Exercice 8 : Fonction de la variable réelle

Dériver les fonctions suivantes, on précisera l’intervalle de dérivation qui s’applique.

1) $f(t)=sin(\omega t)$	2) $f(x)=\sqrt{2x+3}$	3) $f(y) = ln(4y^3 + 2)$
4) $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x-6}$	5) $f(z)=\dfrac{z}{ln(z)}$	6) $f(x)=exp(-2x +\alpha)$
7) $f(x)=e^x(x-1)-1$	8) $f(x)=(x^2-1)\sqrt{x}$	9) $f(x)=2x\sqrt{3x^2+5}$
10) $f(t)=(3t^2-5)^4$	11) $f(y)=\dfrac{1}{(2x^3-x+1)^4}$	12) $f(u)=e^{2u^2+1}$
13) $f(x)=(5x+12)^7$	14) $f(x)=ln(\sqrt{2x^2+10x-2})$	15) $f(\gamma)=\dfrac{\gamma R}{\gamma - 1}$
16) $f(V) = (p+\frac{n^2 a}{V^2})(V-nb)$	17) $f(R)=\dfrac{4}{3}\pi R^3$	18) $f(v)=\dfrac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
19) $f(t)=arccos \left( \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \right)$	20) $f(x)=\dfrac{arcsin(x)}{arccos(x)}$	21) $f(t)=arctan(2t^2+1)$
22) $f(t)=arctan \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)$	23) $f(x) = x^2 arctan (\frac{1}{x})$	24) $f(t) = ln(tan(\frac{t}{2}))$
25) $f(x) = arccos(arctan(x))$	26) $f(x) = \dfrac{(x+1)ln(x+1)}{4}$

Exercice 9 : Fonctions de plusieurs variables

Donner la dérivée de ces fonctions par rapport à chacune de leurs variables.

1) $f(x,y)=2x + 3y$	2) $f(x,y)=8x^2+5y$	3) $f(x,y,z) = 2x^3 + y + 4 exp(z)$
4) $f(x,y)=2xy$	5) $f(x,y,z)=\dfrac{3(x+y)}{z}$	6) $f(x,y,z)=\dfrac{x^2 -1}{4y + z}$
7) $f(x,y)=xexp(yt+\beta)$	8) $f(L,g)=2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$	9) $f(\rho,v,L,\eta)=\dfrac{\rho v L}{\eta}$
10) $f(E,T)=\dfrac{1}{1+exp(-E/(k_B T))}$	11) $f(x,y,z,t)=\dfrac{x cos(2y)}{z^2t}$	12) $f(E,B) = \dfrac{\epsilon_0 E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}$
13) $f(x,y)=(x-1)\sqrt[3]{x-y}$	14) $f(x,y,z) = xcos(xz)+ln(2-sin^2(y+z))$	15) $f(x,y,z) = zsin(xy)+xe^{yz}$

Calcul d’incertitudes

Exercice 10 : Volume d’une cuillère à soupe

Afin de déterminer le volume $V$ d’une cuillère à soupe, on réalise cinq fois la manipulation suivante :

• Remplir d’eau une cuillère à soupe
• Verser cete eau dans une éprouvette graduée de $20mL$

On obtient alors les valeurs suivantes : 15, 14, 16, 15, 15 mL.

1. Calculer la valeur moyenne $V_m$ de $V$
2. Calculer l’écart-type de la série de mesure

Exercice 11 : Vitesses

1. Un cycliste pédale pendant 6 heures $\pm$ 5 minutes à une vitesse moyenne de $20 \pm 0,2$ km/h. Quelle distance a-t-il parcouru? (+incertitude)
2. Une voiture parcourt la distance $d=50,0\pm0,2m$ en $t=2,86 \pm 0,02 s$. Déterminer sa vitesse moyenne (+incertitude).

Exercice 12 : Chute libre 1

La hauteur maximale atteinte par un objet lancé depuis le sol avec une vitesse $v$, dans une direction faisant un angle $\alpha$ avec l’axe horizontal, est donnée par : \(h=\dfrac{v^2sin^2(\alpha)}{2g}\)

Donner l’incertitude absolue ainsi que relative sur $h$, en considérant : $\alpha = 1\pm 0.05 rad$, $g=9.81 \pm 0.01 m.s^{-2}$, $v=3 \pm 0.1 m.s^{-1}$

Exercice 13 : Chute libre 2

Le temps de chute d’un objet uniquement soumis à son poids depuis une hauteur $h$ s’exprime : $T=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$, et sa vitesse au moment de toucher le sol : $v=\sqrt{2gh}$. Donner l’incertitude absolue ainsi que relative sur ces deux valeurs, en considérant : $g=9,81 \pm 0,01 m.s^{-2}$, $h=42 \pm 1m$.

Exercice 14 : Période d’un pendule simple

La période d’un pendule simple (c’est à dire une masse ponctuelle suspendue au bout d’un fil dont la masse est négligeable) est donnée par la formule suivante : \(T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)

$T$ est la période du pendule en secondes, $L$ est la longueur du pendule, et $g$ l’accélération de pesanteur.

On cherche à déterminer $g$ en mesurant $T$ et $L$. On mesure : $T=0,80s$ avec une précision de $0,02s$ et $L=15,0 cm$ avec une précision de $2\%$

1. Donner la valeur de $g$ ainsi calculée
2. Déterminer l’incertitude (absolue et relative)
3. Ce résultat est-il cohérent avec la valeur théorique de $g$ ?